☆数学 趣味編 大学入試レベルの数学力をさらに鍛えるための、”趣味”の数学参考書を紹介。 ・数学 超絶難問 そこまで”超絶”の難問はないが、歴史的な古典数学の有名問題を紹介する問題集。整数問題、数列、無限級数、場合の数、などが多い。難易度というより…

☆数学 分野別編 最難関大学入試レベルの数学を中心に、オススメの参考書を紹介します。 整数 ・教科書だけでは足りない大学入試攻略整数 (河合塾シリーズ) 整数問題を、基本〜難問まで段階的に学習していける参考書兼問題集。難易度はそこまで高くない。 教…

☆数学 総合問題集編 最難関大学入試レベルの数学を中心に、オススメの参考書を紹介します。 ・上級問題精講 適度な難易度の良問を集めた本。最難関大の入試や、模試に頻出の問題を取り上げる。各大学の過去問を解く前にさらえておきたい。 数学I+A+II+B 上級…

条件付き確率は式がシンプルで扱いやすい一方、条件付き分散になると途端に難しくなる。今回は、条件付き分散になれるという目的で、以下の2つの項目について自分なりに説明してみる。 ① 条件付き分散の表式を求める ② 全分散の公式を証明する ① 条件付き分…

数理統計に置いて、あるパラメータを統計量から推定する方法は色々ある。その中で最も基本となるのが最尤推定である。 最尤推定は、文字通り”最も尤もらしい”ようなパラメータの値を推定値とする手法である。具体的には、観察されるデータ の起こる確率を知…

「 の桁数と、1の位の数を求めよ。ただし、 を用いても良い。」 (東大前期1989) 以下、考え方兼略解。考え方のポイントは、 ①合同式による解法、 ②二項展開を利用できるか の2つ。では、略解を記載する。 まずは、桁数を求めよう。 より を得る。よって、200…

この記事では、ガンマ分布を用いた保険数理の計算例を紹介する。 まず、ガンマ分布はどういう時に現れるのだろうか。 が指数分布 に従っているとする。この時、 はどのような分布に従うだろうか？ su-butsu-kikaigakusyuu.hatenablog.com 前の記事によると、…

次元デルタ関数の求め方の備忘録。 デルタ関数は、以下の性質を持つ関数である。 積分すると1になるため、確率密度関数の一つとしても捉えることができる。すなわち、平均(定義されない場合は中心)の値が0になる軸対象な確率密度関数の極限として、デルタ関…

今回から、「非線形推定問題と確率最適制御と量子力学の対応」について説明する。1回目は、非線形推定問題について説明し、推定方程式たるPathwise-robust方程式を導出する。2回目は、確率最適制御について説明し、Pathwise-robust方程式とベルマン・ハミル…

「 を正の数とし, を満たすとする。このとき、 不等式 を求めよ。」 (東工大前期1990)この問題は、後述するように”エントロピー”に対する不等式に関する問題である。 以下、考え方兼略解。考え方のポイントは、 ①凸関数の構造に気付けるか ②帰納法を選択でき…

統計学でよく用いられる確率分布の一覧を示す。今回は、標本に対する確率分布を紹介する。 標本に対する確率分布 1 分布 確率変数 は 標準正規分布 に従うとする。この時、2乗和 の従う確率分布は、 と表され、 分布といい、 で表す。これは、ガンマ分布 に…

統計学でよく用いられる確率分布の一覧を示す。今回は、連続値の確率変数に対する確率分布を紹介する。 連続型確率分布 1 連続一様分布 確率変数 は の間の値を等確率でとるとする。この時の確率密度関数は、 \begin{eqnarray*} f(x;a,b)=\frac{\partial}{\p…

統計学でよく用いられる確率分布の一覧を示す。今回は、離散値の確率変数に対する確率分布を紹介する。 離散型確率分布 1 離散一様分布 確率変数 は自然数 の値を等確率でとるとする。この時の確率関数は、 と表され、離散一様分布という。 平均は 、分散は …

2つ以上の独立変数の関数の偏導関数に対する方程式を偏微分方程式と呼ぶ。1階の偏微分方程式においては、以下のように、複数の解の種類が存在する。①完全解②一般解③特殊解④特異解 今回は、ごっちゃになりやすいこれらの解を、区別するよう努めたい。それぞれ…

「極限 を求めよ。」 (京大理系後期2003)以下、考え方兼略解。考え方のポイントは、 ①極限なので、 についての最高次を考えれば良い ②式の形から区分求積法を連想できるか の2つ。では、略解を記載する。 まずは、式変形。 \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n…

フォッカープランク方程式には様々な解法のアプローチがある。今回は、良く知られている確率微分方程式による解法を紹介する。 前回リー代数による解法を紹介した際の例と同じ、ドリフトと拡散効果をもつ1次元のブラウン粒子を考える。 su-butsu-kikaigakusy…

フォッカープランク方程式には様々な解法のアプローチがある。今回は、あまり知られていないリー代数による解法を紹介する。 例として、ドリフトと拡散効果をもつ1次元の粒子を考え、速度などの変数 に対する確率分布 が満たすフォッカープランク方程式を と…

☆数学 学部レベルの数学を中心に、オススメの参考書を紹介します。 線形代数 ・線型代数入門 (基礎数学1) 線型代数入門 (基礎数学1) 作者: 齋藤正彦 出版社/メーカー: 東京大学出版会 発売日: 1966/03/31 メディア: 単行本 購入: 4人 クリック: 102回 この商…