フォッカープランク方程式の解法2-確率微分方程式-

フォッカープランク方程式には様々な解法のアプローチがある。今回は、良く知られている確率微分方程式による解法を紹介する。

前回リー代数による解法を紹介した際の例と同じ、ドリフトと拡散効果をもつ1次元のブラウン粒子を考える。

su-butsu-kikaigakusyuu.hatenablog.com

すなわち、 $x$ に対する確率分布 $P(x,t)$ が満たすフォッカープランク方程式を

$\frac{\partial{P}}{\partial{t}}=-\gamma \frac{\partial}{\partial{x}}(xP)+\varepsilon \frac{\partial^2}{\partial{x^2}}P$

とする。

まず、簡単のため、粒子が $y$ に局在する( $P(x,0)=\delta(x-y)$ ) とする。

(伊藤過程の)確率変数 $X_t$ の満たす以下の確率微分方程式を考える。

$dX_t = \gamma X_t dt + (2\varepsilon)^{1/2}dB_t,\ X_0 = x.$

ただし、 $B_t$ はブラウン運動を表す。

この場合、 $C^{2}$ 級の任意の関数 $h(x,t)$ に対して、伊藤の公式が使えて

\begin{eqnarray*}dh(X_t, t) &=&\frac{\partial{h}}{\partial{t}}dt +\frac{\partial{h}}{\partial{x}}dX_t +\frac{1}{2}\frac{\partial^2{h}}{\partial{x^2}} (dX_t)^2 \\ &=& \left(\frac{\partial{h}}{\partial{h}}+\gamma X_t \frac{\partial{h}}{\partial{x}}+\varepsilon\frac{\partial^2{h}}{\partial{x^2}}\right)dt +(2\varepsilon)^{1/2}\frac{\partial{h}}{\partial{x}}dB_t \end{eqnarray*}

を得る。積分すると

$h(X_{\infty},\infty)-h(x,0)=\int^{\infty}_0 \left(\frac{\partial{h}}{\partial{t}}+\gamma X_t \frac{\partial{h}}{\partial{x}}+\varepsilon\frac{\partial^2{h}}{\partial{x^2}}\right)dt +\int^{\infty}_0 (2\varepsilon)^{1/2}\frac{\partial{h}}{\partial{x}}dB_t$

となり、以下 $h(x,t)$ は $t=0$ と $t=\infty$ で0になると仮定すれば、左辺は0となる。

確率変数 $X_t$ に関して期待値をとると、末項は0になるため、

$\int^{\infty}_{-\infty}dx\int^{\infty}_0 dt \ f_{X_t}(x)\left(\frac{\partial{h}}{\partial{t}}+\gamma x \frac{\partial{h}}{\partial{x}}+\varepsilon\frac{\partial^2{h}}{\partial{x^2}}\right)=0.$

ここで $f_{X_t}(x)$ は確率変数 $X_t$ の確率密度関数である。部分積分を施せば、

$\int^{\infty}_{0}dt\int^{\infty}_{-\infty} dx \ h(x,t)\left(-\frac{\partial{f}}{\partial{t}}-\gamma \frac{\partial}{\partial{x}}\left(x f\right)+\varepsilon\frac{\partial^2}{\partial{x^2}} f\right)=0$