移入のある出生死亡モデルからの負の二項分布の導出

移入のある出生死亡モデルから、モデルの均衡を解くことで負の二項分布が導かれることを示す。

人口などの状態を整数 $k$ で表し、その増減に対する確率を以下で定義する。

$W(k \to k-1)=ak$

$W(k \to k+1)=b(k+c)$

ここで、 $a,b,c$ は正の定数とし、それぞれ死亡、出生、移入に関する定数である。以下 $r=b/a$ とおく。

現在の状態が $k$ である確率を $P(k)$ とおくと、詳細釣り合い条件は、

$P(k)W(k \to k-1)=P(k-1)W(k-1 \to k)$

であるから、均衡点における分布は

$P(k)=r^k\frac{\Gamma(k+c)}{k!}P(0)$

と書ける。ここで $P(0)$ は規格化により求めることができ、

\begin{eqnarray*} P^{-1}(0)&=&\sum_{k=0}^{\infty}r^k\frac{\Gamma(k+c)}{k!}\\&=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{r^k}{k!}\int_{0}^{\infty}x^{k+c-1}e^{-x}dx\\&=&\int_{0}^{\infty}x^{c-1}e^{-x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(rx)^k}{k!}dx\\&=&\int_{0}^{\infty}x^{c-1}e^{-(1-r)x}dx\\&=&\frac{\Gamma(c)}{(1-r)^{c}}.\end{eqnarray*}

よって、

$P(k)=\frac{\Gamma(k+c)}{\Gamma(k+1)\Gamma(c)}r^k(1-r)^{c}$