ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

大学入試数学難問1-区分求積法の活用-

大学入試 数学 良問

「極限 { \displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k \left(\frac{k}{2n}\right)^{100}} を求めよ。」
(京大理系後期2003)

以下、考え方兼略解。

考え方のポイントは、
①極限なので、 { \displaystyle n}についての最高次を考えれば良い
②式の形から区分求積法を連想できるか
の2つ。

では、略解を記載する。
まずは、式変形。
\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n}(-1)^k \left(\frac{k}{2n}\right)^{100}&=&\frac{1}{(2n)^{100}}\sum_{k=1}^{n}\left\{(2k)^{100}-(2k-1)^{100}\right\}\\
&=&\frac{1}{(2n)^{100}}\sum_{k=1}^{n}\left\{100(2k)^{99}-\cdots \right\}\end{eqnarray*}
よって、 { \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{99}} の { \displaystyle n}についての最高次数の係数を求めたい！という①の考えに行き着く。

なので、整数係数の多項式 { \displaystyle f_{\alpha}=\sum_{k=1}^{n}k^{\alpha}} の最高次数の係数を求めよう。
区分求積法により、
\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\frac{f_{\alpha}}{n^{\alpha+1}}&=&\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{\alpha}\\
&=&\int_{0}^{1}x^{\alpha}dx\\
&=&\frac{1}{\alpha+1}\end{eqnarray*}
を得る。従って、 { \displaystyle f_{\alpha}=\sum_{k=1}^{n}k^{\alpha}} の最高次数は { \displaystyle \alpha+1} で、その係数は { \displaystyle \frac{1}{\alpha+1}} となる。
これを先ほどの結果に代入すれば、
\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k \left(\frac{k}{2n}\right)^{100}&=&\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(2n)^{100}}\times 100\cdot 2^{99}\times \frac{n^{99+1}}{99+1}\\
&=&\frac{1}{2}\end{eqnarray*}
を得る。