保険数理におけるガンマ分布

この記事では、ガンマ分布を用いた保険数理の計算例を紹介する。

まず、ガンマ分布はどういう時に現れるのだろうか。

$X_i \ (i=1,2,...,n)$ が指数分布 $Ex(\lambda)$ に従っているとする。この時、 $S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i$ はどのような分布に従うだろうか？

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前の記事によると、 $Ex(\lambda)$ の母関数と、ガンマ分布 $Ga(n,\lambda)$ の母関数を比較すると、後者が前者の $n$ 乗になっていることがわかる。すなわち、これは独立な $n$ 個の指数分布の確率変数の和 $S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i$ に対する母関数と一致する。

よって、

$S_n=$ ~ $Ga(n,\lambda)$

を得る。ガンマ分布は、指数分布に従う複数個の変数の和が従う分布と言える。

次に、損保で重要となるクレーム件数について考えよう。

時刻 $t$ までに起こったクレーム件数を $N_t$ とする。仮定として、クレームが発生する時間 $T_k$ の間隔は、指数分布に従うとしよう。すなわち、

$Z_k=T_k-T_{k-1}$ ~ $Ex(\lambda) \to \lambda e^{-\lambda x}\ (x\gt0).$

さて、時刻 $t$ までのクレーム件数が $k$ 件となる確率は、

$P(N_t=k)=P(Z_1+\cdots+Z_k \leq t \lt Z_1+\cdots+Z_k+Z_{k+1})$

と表現できる。 $W_k=Z_1+\cdots+Z_k$ とおくと、これは最初の議論により、 $Ga(k,\lambda)$ に従う。よって、 $(W_k,Z_{k+1})$ の同時確率密度関数 $f(w,z)$ は、

$f(w,z)=\frac{\lambda^k}{\Gamma(k)}w^{k-1}e^{-\lambda w} \times \lambda e^{-\lambda z} \ \ (w,z \gt 0)$

と表せる。

よって、これを $w \lt t \lt w+z$ で積分することで、

$P(N_t=k)=\int_{0}^{t}dw \int_{t-w}^{\infty}dz \frac{\lambda^{k+1}}{\Gamma(k)}w^{k-1}e^{-\lambda (w+z)}=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!}$

を得る。

すなわち、クレームの発生時間の間隔を指数分布で仮定すると、クレーム件数 $N_t$ はポアソン分布 $Po(\lambda t)$ に従うことがわかる。

上記の問題では、 $\lambda$ を確定値として計算してきた。しかし、場合によっては、それすら確率変数として扱う必要がある場合がある。例として、クレーム件数 $X$ はポアソン分布 $Po(Y)$ に従うが、 $Y$ 自体も確率変数で、それはガンマ分布 $Ga(s,t)$ に従っている、というケースである。

この場合、クレーム件数に関する確率は、

\begin{eqnarray*} P(X=k)&=&\int_{0}^{\infty} P(X=k|Y=y)P(Y=y) dy\\&=&\int_{0}^{\infty} e^{-y}\frac{y^k}{k!}\times \frac{t^{s}}{\Gamma(s)}y^{s-1}e^{-ty} dy\\&=&{}_{k+s-1} C_k \left(\frac{t}{t+1}\right)^{s} \left(\frac{1}{t+1}\right)^{k} \end{eqnarray*}

と計算できる。

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これは、上記の記事にもある通り、負の二項分布 $NB\left(s,\frac{t}{t+1}\right)$ に一致する。このように、損保数理ではガンマ分布による積分が頻繁に顔を出す。