を母数とするのガンマ分布はと表される。この分布の様々な期待値を計算してみよう。 まずは平均である。 ここで、であること、ガンマ分布の積分が1になることを用いた。 次に、分散を求める。 これと平均の結果により、分散の表式を得る。 次に、指数関数の…

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。 ★有界変分関数の微分可能性 ・単調関数の連続性と有界性 単調関数は有界であり…

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。 ★ラドン-ニコディムの定理 ・変動の定義 可測空間が与えられ，任意のに対して有…

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。 ★フビニの定理 ・直積測度空間 2つの測度空間に対し，任意のの直積を長方形と呼…

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。 ★項別積分 ・ファトゥの補題 可測集合上の非負可測関数列に対して以下が成り立…

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。 ★積分 ・積分の定義 測度空間が与えられている時の，上における積分を考える。 …

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。 ★可測関数 ・可測関数の定義 -加法族およびに対し， (1) が任意の実数について…

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。 ★ボレル測度とルベーグ測度 ・最小の-加法族 集合とその部分集合の族に対して，…

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。 ★可測空間と測度 ・-加法族の定義 集合とその部分集合の族が次の条件を満たすと…

ルベーグ積分の入門的な勉強に適した参考書の紹介です。 統計学や経済学科向け ・統計学への確率論、その先へ (清水泰隆) 数理統計をルベーグ積分の観点から説明した珍しい本であり、ルベーグ積分が必要とされる目的を知る格好の参考書。 普通の数理統計では…

データのばらつきを簡単に評価するには，標本共分散行列を計算するとよいことはみなさんご存じだろう。すなわち、のデータ行列に対して、 ・・・(1) で定義される。上線は標本平均を表す。この行列はであり、データの次元の大きさを持つ行列となる。例えば主…

統計学に特化した参考書紹介です。 統計学の基礎的教科書 ・統計学入門 (基礎統計学Ⅰ) もっともbasic。 統計学入門 (基礎統計学?) 作者: 東京大学教養学部統計学教室 出版社/メーカー: 東京大学出版会 発売日: 1991/07/09 メディア: 単行本 購入: 158人 クリ…

ポワソン分布と 分布の関係を解説する。 区間推定などの計算上では、ポワソン分布のような「離散分布」は実は扱いにくい。これは、そのままでは積分などの操作が行えないためである。逆に言えば、連続値の分布である 分布などの助けを借りれば、ポワソン分布…

世の中には多くの分散がある。標本分散、不偏分散、母分散、共分散...。数学的な定義の違い、文脈による呼称の違いなど、統計学の用語はとかく混乱を招きやすい。なまじ身近な数学のため多くの人が多少の知識を持ってしまっているからこそ、逆に言葉の氾濫が…

2つの確率変数 の確率分布 が等しいことを証明したい。ぞれぞれの確率分布の表式が直接＆陽に求めることができるなら話は終わりだが、簡単に求めることが困難な場合も多々ある。このような時数理統計では、それぞれのモーメント母関数を計算し、それが一致す…

条件付き確率は式がシンプルで扱いやすい一方、条件付き分散になると途端に難しくなる。今回は、条件付き分散になれるという目的で、以下の2つの項目について自分なりに説明してみる。 ① 条件付き分散の表式を求める ② 全分散の公式を証明する ① 条件付き分…

数理統計に置いて、あるパラメータを統計量から推定する方法は色々ある。その中で最も基本となるのが最尤推定である。 最尤推定は、文字通り”最も尤もらしい”ようなパラメータの値を推定値とする手法である。具体的には、観察されるデータ の起こる確率を知…

今回から、「非線形推定問題と確率最適制御と量子力学の対応」について説明する。1回目は、非線形推定問題について説明し、推定方程式たるPathwise-robust方程式を導出する。2回目は、確率最適制御について説明し、Pathwise-robust方程式とベルマン・ハミル…

フォッカープランク方程式には様々な解法のアプローチがある。今回は、良く知られている確率微分方程式による解法を紹介する。 前回リー代数による解法を紹介した際の例と同じ、ドリフトと拡散効果をもつ1次元のブラウン粒子を考える。 su-butsu-kikaigakusy…

フォッカープランク方程式には様々な解法のアプローチがある。今回は、あまり知られていないリー代数による解法を紹介する。 例として、ドリフトと拡散効果をもつ1次元の粒子を考え、速度などの変数 に対する確率分布 が満たすフォッカープランク方程式を と…