多次元デルタ関数の導出(備忘録)

$n$ 次元デルタ関数の求め方の備忘録。

デルタ関数は、以下の性質を持つ関数である。

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1,\ \delta (0)=\infty$

$\delta (x)=0\quad (x\neq 0)$

積分すると1になるため、確率密度関数の一つとしても捉えることができる。すなわち、平均(定義されない場合は中心)の値が0になる軸対象な確率密度関数の極限として、デルタ関数を具体的に表現することができ得る。

例えば、以下の正規分布の極限はデルタ関数になる。

$\lim _{\sigma \to 0}\frac {1}{(2\pi)^{1/2}\sigma }\exp \left(-\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}\right)=\delta (x).$

他にも、コーシー分布の極限

$\lim_{\sigma \to 0}\frac{1}{\pi} \frac{\sigma}{x^2+\sigma^2}$

として表すこともできる。

これらの分布については以下を参照。

su-butsu-kikaigakusyuu.hatenablog.com

上記の例は一次元のデルタ関数だが、 $n$ 次元のデルタ関数に対する表現例はどうなるであろうか。

正規分布の場合は、容易に

$\lim _{\sigma \to 0}\frac {1}{(2\pi)^{n/2} \sigma ^n}\exp \left(-\frac {x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots+x_n^{2}}{2\sigma ^{2}}\right)=\delta (x_1)\cdots\delta (x_n)$

とできる。では、コーシー分布の場合の $n$ 次元デルタ関数はどう書けるだろうか？

$n$ 次元の正規分布において、 $\sigma \to \sigma/a$ と、正の数 $a$ を用いて変換し、

$\frac {a^n}{(2\pi)^{n/2} \sigma ^n}\exp \left(-\frac {a^2(x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots+x_n^{2})}{2\sigma ^{2}}\right)$

を得る。

この極限は $a$ の値によらないので、適当な関数 $f(a)$ を用いて平均をとっても値は不変である。

$\frac{\int_{0}^{\infty}(\cdots)f(a)da}{\int_{0}^{\infty}f(a)da}$

特に、 $f(a)=a^m e^{-a^2}$ とおき、ガンマ関数 $\int_{0}^{\infty}a^m e^{-a^2}=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{\lambda+1}{2}\right)$ を用いて整理し、 $2\sigma^2 \to \sigma^2$ と置き換えて以下の結果を得る。

$\lim _{\sigma \to 0}\frac{\Gamma\left(\frac{n+m+1}{2}\right)}{\pi^{n/2}\Gamma\left(\frac{m+1}{2}\right)}\frac{\sigma^{m+1}}{(x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots+x_n^{2}+\sigma^2)}=\delta (x_1)\cdots\delta (x_n).$