ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

電流ノイズの導出

物理 統計

これまで紹介してきた確率分布を用いて、いくつかの系の電流のノイズを導出する。

 

(a) 量子ポイントコンタクト(1チャンネル量子導体＋散乱体)

ポイントコンタクトに到達した電子は、透過確率 [tex:{\displaystyle T}] で散乱体を透過すると仮定する。コンダクタンスを {\displaystyle g=\frac{e^2}{\hbar}} とし、系に{\displaystyle V} のバイアスが印加されているとする。

この時、時間 {\displaystyle \delta t} の間に供給される電子数は {\displaystyle N=gV\delta t} とかける。

このうち、{\displaystyle n} この電子が透過する確率は、 

{\displaystyle p(n)={}_{N}C_{n}T^n(1-T)^{N-n} } 

と表せ、二項分布 {\displaystyle B(n,T)} に従うことがわかる。

su-butsu-kikaigakusyuu.hatenablog.com

前の記事の結果から、

透過電子数に関して、

平均：{\displaystyle \langle n \rangle=gTV \delta t} 

分散：{\displaystyle \langle (n-\langle n \rangle)^2 \rangle = NT(1-T)=gT(1-T)V \delta t} 

を得る。従って、上記の分散に従った電流の揺らぎが存在する。

 

(b) Ohm抵抗素子

Ohm抵抗では、電荷移動はポアソン分布に従う。{\displaystyle \lambda} を適当な正の数として、

{\displaystyle p(n)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n!} .} 

よって前の記事の結果から、

抵抗を通過する電子数に関して、

平均：{\displaystyle \langle n \rangle=\lambda} 

分散：{\displaystyle \langle ((n-\langle n \rangle)^2 \rangle=\lambda} 

を得る。

そこで電流 {\displaystyle I=e n/\delta t} を用いると、{\displaystyle \lambda=\langle I \rangle \delta t/e} と求められる。

よって、電流の分散は、

{\displaystyle \langle (I-\langle I \rangle)^2 \rangle=\frac{e}{\delta t}\langle I \rangle} 

と表せる。ここで、電流を観測する時間 {\displaystyle \delta t} の逆数が現れているが、これは観測のバンド幅に対応する。

ノイズ大きさが電流の平均に比例しているため、ショットノイズであることが分かる。
λxx!