ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

ランダウアービュティカー公式によるオーム抵抗の導出

物理

ランダウアービュティカー公式を、古典的な電子輸送に適用し、Ohm抵抗が導かれることを示す。

 

まず、ランダウアービュティカー公式は、透過確率 {\displaystyle T}の散乱体を持つ、 {\displaystyle N} 個のチャネルを有する伝導体における伝導度を求める公式であり、

                      {\displaystyle G=\frac{2e^2}{h}NT}                           

と書ける。

一方、Ohm抵抗では、導体の断面積を{\displaystyle S}、長さを{\displaystyle L} として、{\displaystyle G \propto S/L}  が成り立つ。  

ランダウアービュティカー公式に話を戻す。チャネルの数は、断面積に比例して大きくなると予想されるので、{\displaystyle N \propto S} と考えられる。

従って、透過確率が {\displaystyle T \propto L^{-1}} となることを示せば良い。

 

長さ {\displaystyle x} の導体における透過確率を {\displaystyle T(x)} とおく。

長さ {\displaystyle x+y} の導体における透過確率 {\displaystyle T(x+y)} を求めてみよう。

まず、反射なしで透過する確率は、

{\displaystyle T(x)T(y).}            

1回反射して透過する確率は、

{\displaystyle T(x)T(y)(1-T(x))(1-T(y)).}     

n回反射して透過する確率は、

{\displaystyle T(x)T(y)(1-T(x))^n(1-T(y))^n.}     

よって、

{\displaystyle T(x+y)=\sum_{n=0}^{\infty}T(x)T(y)(1-T(x))^n(1-T(y))^n=\frac{T(x)T(y)}{T(x)+T(y)-T(x)T(y)}}

を得る。{\displaystyle f(x)=T^{-1}(x)} とおくと、上式は

{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)-1}

と書き換えられる。{\displaystyle y \to dx} とすれば、微分方程式として

{\displaystyle f'(x)=f'(0)=C(const.)}

を得るため、 

{\displaystyle T(x)=f^{-1}(x)=\frac{1}{C(x-1)+1}=\frac{\lambda}{x+\lambda}}

が解となる。3式目では定数を取り直した。

以上より、伝導度は 

                      {\displaystyle G=\frac{2e^2}{h}\frac{\lambda N}{L+\lambda}}       

と書ける。抵抗に戻すと、

                      {\displaystyle G^{-1}=\frac{h}{2e^2 N} +\frac{hL}{2e^2\lambda N}}     

となり、一項目が電極との接触抵抗、二項目が長さに比例し、面積に反比例するOhm抵抗を表している。