ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

ルベーグ積分の公式集8：有界変分関数の微分可能性

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★有界変分関数の微分可能性

・単調関数の連続性と有界性

単調関数{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb{R}}は有界であり，不連続点はの集合の測度は0である(高々加算個で積分に寄与しない)。

また{\displaystyle f}は有界変分である。すなわち，以下のように全変分が有限となる。{\displaystyle \Delta}は任意の分割を表す。

{\displaystyle \ \ \ \ V_b^a [f]=\sup_{\Delta} \sum_{i=1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i-1})|\lt \infty}

 

・有界変分関数は単調非減少関数の差

有界変分関数{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb{R}}は，2つの単調非減少関数の差として表される。一例が{\displaystyle f(x)=V_a^x[f]-(V_a^x[f]-f(x))}である。

 

・ヴィタリの被覆定理

{\displaystyle E\subset \mathbb{R}}かつ，が{\displaystyle \mathfrak{I}}は区間の集合とする。任意の{\displaystyle \forall x\in E,\  \forall \epsilon \gt 0}に対して

(1) {\displaystyle \ \ \ x\in I}かつ{\displaystyle \lambda(I)\lt \epsilon}

を満たす区間{\displaystyle I\in \mathfrak{I}}が存在するとき，{\displaystyle \mathfrak{I}}は{\displaystyle E}をヴィタリの意味で被覆するという。ここで{\displaystyle \lambda}はルベーグ測度を表す。

また，{\displaystyle \lambda}から構成される外測度{\displaystyle \lambda^*}に対して{\displaystyle \lambda^*}-測度有限な集合{\displaystyle E\subset \mathbb{R}}を，区間の集合{\displaystyle \mathfrak{I}}が被覆するとする。このとき，

(2) {\displaystyle \ \ \ \mu^* \left (E \setminus \cup_{n=1}^N I_i \right) \lt \epsilon}

なる有限{\displaystyle N}個の区間列{\displaystyle I_n \in \mathfrak{I}}が存在する。

 

・有界変分関数の微分可能性

ヴィタリの被覆定理の定理を用いると，単調関数{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb{R}}は{\displaystyle (a,b)}のほとんどすべての点で微分可能となる。

また，有界変分関数が2つの単調非減少関数の差で書けることを踏まえると，有界変分関数もほとんどすべての点で微分可能となる。