フォッカープランク方程式の解法1-リー代数-

フォッカープランク方程式には様々な解法のアプローチがある。今回は、あまり知られていないリー代数による解法を紹介する。

例として、ドリフトと拡散効果をもつ1次元の粒子を考え、速度などの変数 $x$ に対する確率分布 $P(x,t)$ が満たすフォッカープランク方程式を

$\frac{\partial{P}}{\partial{t}}=-\gamma \frac{\partial}{\partial{x}}(xP)+\varepsilon \frac{\partial^2}{\partial{x^2}}P$

とする。

2つの演算子を

$A=-\gamma\frac{\partial}{\partial{x}}x,\ B=\varepsilon \frac{\partial^2}{\partial{x^2}}$

で定義すると、これらの交換関係は $[A,B]=2\gamma B$ を満たし、リー代数を構成していることがわかる。

これらの演算子を用いれば、形式的な解は、

$P(x,t)=e^{t(A+B)}P(x,0)$

と書くことができる。

ここで、上記の演算子は

$e^{t(A+B)}=e^{tA}\times e^{\frac{e^{-2\gamma}-1}{2\gamma}tB}$

の関係を満たすことが証明されている(by ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式)。

また、

$e^{tA}P(x)=e^{-\gamma t}P\left(xe^{-\gamma t}\right)$

$e^{tB}P(x)=\{4\pi \varepsilon t\}^{-1/2}\int_{\infty}^{-\infty} e^{-(x-y)^2/4\varepsilon t} P(y)dy$

であることを用いれば、形式解を以下の積分形で表すことができる。

$P(x,t)=\left\{\frac{2\pi \varepsilon (e^{\gamma t}-1)}{\gamma}\right\}^{-1/2}\int_{-\infty}^{\infty}exp\left[-\frac{(y-e^{-\gamma t}x)^2}{2\varepsilon (1-e^{-2\gamma t})/\gamma}\right]P(y,0)dy.$

こうして、フォッカープランク方程式の解を求めることができた。

演算子をドリフトと拡散で分離することで、順番に解析を可能にさせることが鍵と言える。

さて、計算結果の吟味をしよう。

まず、ドリフトがない ( $\gamma \to 0$ ) 場合。

$P(x,t)=\left\{4\pi \varepsilon t \right\}^{-1/2}\int_{-\infty}^{\infty}exp\left[-\frac{(y-x)^2}{4\varepsilon t}\right]P(y,0)dy.$

遷移確率が時間を分散とする正規分布となっているため、ブラウン運動になっていることがわかる。

次に、拡散がない ( $\varepsilon \to 0$ ) 場合。

\begin{eqnarray*} P(x,t)&=&\int_{-\infty}^{\infty}\delta (y-e^{-\gamma t}x)P(y,0)dy \\ &=& P(e^{-\gamma t}x,0)\end{eqnarray*}

たとえば、 $x$ を速度だと思うと、速度が時間とともに減衰していくことになるが、これは速度に比例した摩擦抵抗の項が存在するためによる。

ChunPom’s diary

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