2020東大入試数学(理系)問題と講評

2020年の東大数学講評について。

問題の難易度としては、

第一問：易、第二問：易、第三問：易、第四問：標準、第五問：標準、第六問：やや難。

前年よりやや易化〜並程度と考える。

第一問は、見るからに背理法の問題。見通しも立ちやすく、完答したい。

第二問は、私立中堅の中学入試よりも簡単。間違いなく落とせない問題。

第三問も基本の問題。積分もしんどくないので，落とせない。

第四問は、(2)で一瞬戸惑うかもしれないが、代表値を計算してみることで解の予測はすぐに立つ。(3)は(2)のおまけに過ぎない。

第五問は、「立体は輪切りで求める」という東大数学の合言葉を体現した問題。ただ、(1)はサービスだし、(2)も輪切り図面を丁寧に作れば決して難しくはない。注意点は変数が複数(輪切りのz座標と、Pのz座標など)出現しうることか。いずれにせよ、輪切りの問題はそろそろネタ切れ感が否めない。

第六問は、別段方針が立ちにくいわけではないが、以下の2点に注意しなければならない。すなわち、楕円の接線の方程式と、反例探しである。(2)において $r \geq1/2$ であることは、楕円の接線の方程式がちゃんと頭に入っていればスムーズに行くだろう。ただし、最後に高々 $r =1/2$ になることを示すのは意外に難しい。すなわち、因数定理や今回の第四問のように、代表的な値を突っ込んでも反例がすぐに見つからないためである。このような場合は、逆算して「どういう代表値なら反例を示せるか？」と考えてほしい。具体的には、「 $sin(2 \theta)=sin( \theta-\alpha)$ の解が3つになってしまうのは、本来4つあるはずの解のうち2つが一致してしまうときだ！」と思考実験するとよい。さすれば、 $\alpha=3\pi/4$ という代表値が手に入る。