ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

色々な確率分布まとめ3-標本に対する分布-

数学 統計

統計学でよく用いられる確率分布の一覧を示す。今回は、標本に対する確率分布を紹介する。

 

標本に対する確率分布

1 {\displaystyle \chi^2} 分布

　確率変数 {\displaystyle Y_i\ (i=1,2,..,p)} は 標準正規分布 {\displaystyle N(0,1)} に従うとする。この時、2乗和 {\displaystyle X=\sum_{i=1}^{p}Y_{i}^{2}} の従う確率分布は、

{\displaystyle f(x;p)=\frac{1}{2^{p/2}\Gamma(p/2)}x^{p/2-1}exp (-\frac{x}{2}) }

 と表され、{\displaystyle \chi^2} 分布といい、{\displaystyle \chi^2(p)} で表す。これは、ガンマ分布 {\displaystyle Ga(p/2,1/2)} に一致する。

平均は {\displaystyle p} 、分散は {\displaystyle 2p}。 

母関数は

{\displaystyle M(t;p)=E[e^{tx}]=\left(\frac{1}{1-2t}\right)^{p/2}}

であり、分布の再生性を持つ。

また、確率変数 {\displaystyle Y_i\ (i=1,2,..,p)} は 正規分布 {\displaystyle N(\mu,\sigma^2)} に従うとする。この時の不偏分散 {\displaystyle V} を、

{\displaystyle V=\frac{1}{p-1}\sum_{i=1}^{p}(Y_i-\bar{Y})^2}

 で定義する。ここで、{\displaystyle \bar{Y}} は標本平均である。

このとき、確率変数 {\displaystyle (p-1)V/ \sigma^2} は {\displaystyle \chi^2 (p-1)} に従う。

一方で、標本分散

{\displaystyle V'=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p}(Y_i-\mu)^2}

に対しては、確率変数 {\displaystyle p V'/ \sigma^2} は {\displaystyle \chi^2 (p)} に従う。

 

2 {\displaystyle t} 分布

　確率変数 {\displaystyle Z}~{\displaystyle N(0,1)} 、{\displaystyle W}~{\displaystyle \chi^2(p)}に独立に従うとする。この時、{\displaystyle X=Z/\sqrt{W/p}} の従う確率分布は、

{\displaystyle f(x;p)=\frac{1}{\sqrt{p}B(p/2,1/2)}\left(1+\frac{x^2}{p}\right)^{-(p+1)/2}exp (-\frac{x}{2})}

 と表され、{\displaystyle t} 分布といい、{\displaystyle t(p)} で表す。特に、{\displaystyle t(1)} はコーシー分布に一致する。ベータ関数の定義は 

5 ベータ分布

色々な確率分布2-連続型- - ChunPom’s diary

 を参考にされたい。

平均は {\displaystyle 0} 、分散は {\displaystyle p/(p-2)}。 

分散は、{\displaystyle p\leq2} では定義できない(コーシー分布でそうあったように)。 

母関数は基本的に定義できない。

また、確率変数 {\displaystyle Y_i\ (i=1,2,..,p)} は 正規分布 {\displaystyle N(\mu,\sigma^2)} に従うとする。この時の不偏分散 {\displaystyle V} を用いて、確率変数 {\displaystyle \sqrt{p}\frac{\bar{Y}-\mu}{\sqrt{V}} } は {\displaystyle t (p-1)} に従う。

 

3 {\displaystyle F} 分布

　確率変数 {\displaystyle Z}~{\displaystyle \chi^2(p)} 、{\displaystyle W}~{\displaystyle \chi^2(q)} に独立に従うとする。この時、{\displaystyle X=\frac{Z/p}{W/q}} の従う確率分布は、

{\displaystyle f(x;p,q)=\frac{p^{p/2}}{B(p/2,q/2)} \frac{x^{p/2-1}}{(px+q)^{(p+q)/2}} \  (x \gt 0) }

 と表され、{\displaystyle F} 分布といい、{\displaystyle F(p,q)} で表す。

平均は {\displaystyle \frac{q}{q-2} \ (q\gt 2)} 、分散は {\displaystyle 2\left(\frac{q}{q-2}\right)\frac{p+q-2}{p(q-4)} (q\gt 4)}。 

母関数は存在しない。

確率変数 {\displaystyle X_i\ (i=1,2,..,p)} は 正規分布 {\displaystyle N(\mu_x,\sigma_x^2)} 、{\displaystyle Y_i\ (i=1,2,..,q)} は 正規分布 {\displaystyle N(\mu_y,\sigma_y^2)} に従うとする。この時の不偏分散 {\displaystyle V_x,V_y} を用いて、確率変数 {\displaystyle \frac{\sigma_y^2 V_x}{\sigma_x^2 V_y} } は {\displaystyle F (p-1,q-1)} に従う。

 

 

各確率分布の詳細については、以下の教科書を参照されたい。

統計学入門 (基礎統計学?)

統計学入門 (基礎統計学?)

 
確率統計演習 1 確率

確率統計演習 1 確率