ガンマ分布の様々な期待値

$\lambda,k$ を母数とするのガンマ分布は $\frac{{\lambda}^k}{\Gamma(k)}x^{k-1}e^{-\lambda x}$ と表される。この分布の様々な期待値を計算してみよう。

まずは平均 $E(x)$ である。

$E(x)=\int^{\infty}_{0}dx \frac{{\lambda}^k}{\Gamma(k)}x^{k}e^{-\lambda x}=\frac{k}{\lambda} \int^{\infty}_{0}\frac{{\lambda}^{k+1}}{\Gamma(k+1)}x^{k}e^{-\lambda x}=\frac{k}{\lambda}$

ここで、 $\Gamma(k+1)=k!=k\Gamma(k)$ であること、ガンマ分布の積分が1になることを用いた。

次に、分散 $V(x)=E(x^2)-(E(x))^2$ を求める。

$E(x^2)=\int^{\infty}_{0}dx \frac{{\lambda}^k}{\Gamma(k)}x^{k+1}e^{-\lambda x}=\frac{k(k+1)}{{\lambda}^2} \int^{\infty}_{0}\frac{{\lambda}^{k+2}}{\Gamma(k+2)}x^{k+1}e^{-\lambda x}=\frac{k(k+1)}{{\lambda}^2}$

これと平均の結果により、分散の表式を得る。

$V(x)=\frac{k}{{\lambda}^2}$

次に、指数関数の期待値を求めよう。

$E(e^{tx})=\int^{\infty}_{0}dx \frac{{\lambda}^k}{\Gamma(k)}x^{k-1}e^{-(\lambda-t) x}=\frac{{\lambda}^k}{(\lambda-t)^k} \int^{\infty}_{0}\frac{(\lambda-t)^{k}}{\Gamma(k)}x^{k-1}e^{-(\lambda-t) x}=\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^k$

これは、いわゆるモーメント母関数のことである。

最後に、対数関数の期待値を求めよう。

$E(ln(x))=\int^{\infty}_{0}dx \frac{{\lambda}^k}{\Gamma(k)}x^{k-1}e^{-\lambda x} ln(x)=\int^{\infty}_{0}dx \frac{{\lambda}^k}{\Gamma(k)}e^{-\lambda x} \frac{d}{dk} x^{k-1}$

と変形できる。ここで、 $\frac{(x^{k-1})'}{x^{k-1}}=\frac{d}{dk} ln(x^{k-1})= \frac{d}{dk} (k-1)ln(x)=ln(x)$ であることを用いた(「'」は $k$ に関する微分)。

$E(ln(x))=\frac{d}{ds}\int^{\infty}_{0}dx \frac{{\lambda}^k}{\Gamma(k)}x^{k-1}e^{-\lambda x} -\int^{\infty}_{0}dx \frac{d}{dk} \left(\frac{{\lambda}^k}{\Gamma(k)}\right)e^{-\lambda x} x^{k-1}$

一項目は、被微分部分が定数1になるため0となる。二項目の微分を実行すると、

$E(ln(x))= -\int^{\infty}_{0}dx \frac{ln(\lambda) {\lambda}^k}{\Gamma(k)} x^{k-1} e^{-\lambda x} +\int^{\infty}_{0} dx \frac{{\Gamma(k)}'}{{\Gamma(k)}^2} x^{k-1} e^{-\lambda x} =-ln(\lambda)+ \frac{{\Gamma(k)}'}{{\Gamma(k)}^2}$