ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

ルベーグ積分の公式集3：可測関数

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★可測関数

・可測関数の定義

{\displaystyle \sigma}-加法族{\displaystyle \mathscr{A}}および{\displaystyle E \in X}に対し，

(1) {\displaystyle \ \ \ \{x\in E;\ f(x) \gt a \}\in \mathscr{A}}

が任意の実数{\displaystyle a}について成り立つとき，{\displaystyle f(x)}を{\displaystyle \mathscr{A}}-可測関数と呼ぶ。なお有理数の稠密性と可測集合の完全加法性から，「(1)式が任意の有理数で成り立つ」としても良い。

 

・単関数による近似可能性

{\displaystyle f(x)}が{\displaystyle E}で可測でかつ非負なら，{\displaystyle E}で可測でかつ非負なる単関数の増加列で，{\displaystyle f(x)}に{\displaystyle E}の各点で収束するものが存在する。

 

・エゴロフの定理

{\displaystyle \sigma}-加法族{\displaystyle \mathscr{A}}および{\displaystyle E \in \mathscr{A}}に対して{\displaystyle \mu(E)\lt \infty}とし，{\displaystyle E}上でほとんど至るところ有限な可測関数列{\displaystyle f_n}があったとする。{\displaystyle E}上ほとんどすべての点で有限な収束値

{\displaystyle \ \ \ f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)}

を持つとき，{\displaystyle \forall \epsilon}に対して以下が成り立つような{\displaystyle F \in \mathscr{A}}が存在する。

(1) {\displaystyle \ \ \ F\subset E, \mu(E-F)\lt \epsilon}

(2) {\displaystyle \ \ \ \{f_n(x)\}}は{\displaystyle  f(x)}に{\displaystyle  F}上一様収束する。