ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

ルベーグ積分の公式集5：積分(項別積分)

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★項別積分

・ファトゥの補題

可測集合{\displaystyle E}上の非負可測関数列{\displaystyle  \{f_n\}}に対して以下が成り立つ。

{\displaystyle \ \ \ \  \int _E \varliminf_{n \to \infty} f_n d\mu \leq \varliminf_{n \to \infty}  \int_E f_n d \mu}

 

・ルベーグの収束定理

関数{\displaystyle f_n(x)}が{\displaystyle E}上可測関数で，{\displaystyle E}上積分可能な{\displaystyle \phi (x)}を用いて各点で{\displaystyle |f_n(x)|\leq \phi (x)}と抑えられるならば，以下が成り立つ。

(1) {\displaystyle \ \ \ \int _E \varliminf_{n \to \infty} f_n d\mu \leq \varliminf_{n \to \infty}  \int_E f_n d\mu}

(2) {\displaystyle \ \ \ \int _E \varlimsup_{n \to \infty} f_n d\mu \geq \varlimsup_{n \to \infty}  \int_E f_n d\mu}

さらに{\displaystyle f=\lim_{n\to \infty}f_n}が存在すれば

(3) {\displaystyle \ \ \ \int _E \lim_{n \to \infty} f_n d\mu = \lim_{n \to \infty}  \int_E f_n d\mu}

 

・有界収束定理

有限測度の集合{\displaystyle E}上の可測関数列{\displaystyle  \{f_n\}}がある定数{\displaystyle C}により{\displaystyle |f_n(x)|\leq C}で抑えられ(一様収束)，かつ{\displaystyle f=\lim_{n\to \infty}f_n}が存在すれば，

{\displaystyle \ \ \ \ \int _E \lim_{n \to \infty} f_n d\mu = \lim_{n \to \infty}  \int_E f_n d\mu}

 

・微分と積分の順序交換

測度関数{\displaystyle (X, \mathscr{A},\mu)}があり，{\displaystyle X}上で積分可能な{\displaystyle f(x,t)}が，{\displaystyle t}の関数として微分可能とする。この導関数が{\displaystyle X}上積分可能な{\displaystyle \phi(x)}により，{\displaystyle t}の定義域で{\displaystyle |f_t(x,t)|\leq \phi(x)}で抑えられるとする。このとき，{\displaystyle f(x,t)}の{\displaystyle x}に関する積分は{\displaystyle t}の関数として微分可能であり，

{\displaystyle \ \ \ \ \frac{d}{dt}\int _X f(x,t) d\mu(x) =  \int_X f_t(x,t)d\mu(x)}

が成り立つ。