ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

ルベーグ積分の公式集1：可測空間と測度

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★可測空間と測度

・{\displaystyle \sigma}-加法族の定義

集合{\displaystyle X}とその部分集合の族{\displaystyle \mathscr{A}}が次の条件を満たすとき，{\displaystyle \mathscr{A}}を{\displaystyle \sigma}-加法族と呼ぶ。

(1) {\displaystyle \phi \in \mathscr{A}}

(2) {\displaystyle A \in \mathscr{A}}ならば{\displaystyle A^{c} \in \mathscr{A}}

(3) {\displaystyle A_1, A_2,.. \in \mathscr{A}}のとき，{\displaystyle \cup_{n=1}^{\infty}A_n \in \mathscr{A}}

{\displaystyle \ \ \ (X, \mathscr{A})}を可測空間と呼ぶ。また，完全加法性(3)が有限の和の場合に成り立つときは{\displaystyle \mathscr{A}}は有限加法族と呼ばれる。

 

・測度の定義

{\displaystyle \sigma}-加法族{\displaystyle \mathscr{A}}に対する集合関数{\displaystyle \mu(A)}が次の条件を満たすとき，{\displaystyle \mu}を{\displaystyle \mathscr{A}}で定義された{\displaystyle X}上の測度という。

(1) {\displaystyle \mu(A)\geq 0, \mu(\phi)=0}

(2) {\displaystyle A_1, A_2,.. \in \mathscr{A}}が互に素ならば{\displaystyle \mu(\sum_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)}

{\displaystyle \ \ \ (X, \mathscr{A}, \mu)}を測度空間と呼ぶ。また，有限加法族{\displaystyle \mathscr{A}}に対して(1)および(2)の有限版の条件が成り立つならば，有限加法的測度と呼ぶ。

 

・{\displaystyle \sigma}-有限

測度空間{\displaystyle (X, \mathscr{A}, \mu)}に対し，

{\displaystyle \ \ \ X=\cup_{n=1}^{\infty}E_n,\ \mu(E_n) \lt \infty}

を満たすような可測集合列{\displaystyle E_n}が存在するとき，{\displaystyle \mu}は{\displaystyle \sigma}-有限と呼ぶ。

 

・測度の連続性

{\displaystyle A_n\in \mathscr{A}}なる集合列に対して，以下が成り立つ。

(1) {\displaystyle \ \ \ \mu(\varliminf_{n \to \infty} A_n)\leq \varliminf_{n \to \infty}\mu(A_n)}

(2) {\displaystyle \ \ \ \mu(\sum_{n=1}^{\infty}A_n)\lt \infty}ならば{\displaystyle \mu(\varlimsup_{n \to \infty} A_n)\geq \varlimsup_{n \to \infty}\mu(A_n)}

また，{\displaystyle A_n\in \mathscr{A}}が単調増加な集合列とする。あるいは単調減少で{\displaystyle \mu(A_1)\lt \infty}とする。このとき，以下が成り立つ。

(3) {\displaystyle \ \ \ \mu(\lim_{n\to \infty}A_n)=\lim_{n\to \infty}\mu(A_n)}

 

・ホップの拡張定理

有限加法族{\displaystyle \mathscr{F}}の上の有限加法的測度{\displaystyle m}が，{\displaystyle \mathscr{F}}を含む{\displaystyle \sigma}-加法族{\displaystyle \mathscr{B(F)}}上の測度{\displaystyle \mu}に拡張できる必要十分条件は，{\displaystyle \mathscr{F}}上で{\displaystyle m}の完全加法性が成り立つことである。

ここで拡張とは，{\displaystyle \forall E\in \mathscr{F}}に対して{\displaystyle \mu(E)=m(E)}となることを示す。

なお上記の拡張は，{\displaystyle X_n\in \mathscr{F},m(X_n)\lt \infty}なる単調増加な集合列があって，{\displaystyle X=\lim_{n \to \infty}X_n}が成り立つとき，一意的となる。