ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

ルベーグ積分の公式集2：ボレル測度とルベーグ測度

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★ボレル測度とルベーグ測度

・最小の{\displaystyle \sigma}-加法族

集合{\displaystyle X}とその部分集合の族{\displaystyle \mathscr{A}}に対して，{\displaystyle \mathscr{A}}を含むすべての{\displaystyle \sigma}-加法族の共通部分をとったものを，{\displaystyle \mathscr{A}}の生成する(最小の){\displaystyle \sigma}-加法族{\displaystyle \mathscr{E(A)}}と呼ぶ。

 

・ボレル測度の定義

位相空間{\displaystyle (X,\mathscr{I})}が与えられたとすると，位相{\displaystyle \mathscr{I}}は集合族であるから，これを含む最小の{\displaystyle \sigma}-加法族を考えることができる。これをボレル{\displaystyle \sigma}-加法族と呼び，{\displaystyle \mathscr{B}(X)}で表す。また，{\displaystyle \mathscr{B}(X)}上で定義される測度{\displaystyle m}をボレル測度と呼ぶ。

とくに，{\displaystyle X}を実数空間{\displaystyle \mathbb{R}}とする場合のものをボレル加法族，ボレル測度とすることもある。

 

・外測度

集合{\displaystyle X}の全部分集合上{\displaystyle A}で定義された集合関数{\displaystyle \mu^{*}(A)}が以下の(1)-(3)を満たすとき，外測度と呼ぶ。

(1) {\displaystyle \ \ \ 0 \leq \mu^{*} \leq \infty,\ \mu^{*}(\phi)=0}

(2) {\displaystyle \ \ \ A \subset B}ならば{\displaystyle \mu^{*}(A) \leq \mu^{*}(B)}

(3) {\displaystyle \ \ \  \mu^{*}(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu^{*}(A_n)}

また{\displaystyle E \subset X}が{\displaystyle \mu^{*}}-可測であるとは，すべての{\displaystyle A}に対し

{\displaystyle \ \ \ \ \mu^{*}(A) = \mu^{*}(A\cap E)+\mu^{*}(A\cap E^{c})}

が成り立つことをいう。{\displaystyle \mu^{*}}-可測な集合すべてからなる族は{\displaystyle \sigma}-加法族であり，外測度をこの族に制限して得られる集合関数{\displaystyle \mu}は測度となる(カラテオドリの拡張定理)。

 

・測度を{\displaystyle \sigma}-加法族上の測度へ拡大する

加法族{\displaystyle \mathscr{F}}およびその上の測度{\displaystyle \mu_0}があるとする。{\displaystyle \mathscr{F}}の集合列{\displaystyle \{F_n\}}を用いて，集合関数{\displaystyle \mu^{*}}を定義する。

{\displaystyle \ \ \ \ \mu^{*}(A)=\inf \sum_{n=1}^{\infty}\mu_0(F_n)}

ここで下限は{\displaystyle A\subset \cup_{n=1}^{\infty} \{F_n\}}となるすべての集合列についてとる。このとき，{\displaystyle \mu^{*}}は{\displaystyle X}上の外測度で，下記が成り立つ。

{\displaystyle \ \ \ \ \mu^{*}(F)=\mu_0(F),\ \forall F\in \mathscr{F}}

これにカラテオドリの拡張定理を適用すれば，{\displaystyle \mathscr{F}}の生成する{\displaystyle \sigma}-加法族{\displaystyle \mathscr{E(F)}}上の測度{\displaystyle \mu}が得られる。

 

・完備化とルベーグ測度

測度空間{\displaystyle (X, \mathscr{A}, \mu)}に対し，{\displaystyle  \mathscr{A}}が測度0の集合{\displaystyle E\in \mathscr{A}}のもつすべての部分集合を含んでいるとき，この測度空間を完備であるという。

ボレル測度空間{\displaystyle (\mathbb{R}, \mathscr{B(\mathbb{R})}, m)}を完備化して得られる測度空間をウィナー空間とよび，このときの測度をルベーグ測度と呼ぶ。