ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

ルベーグ積分の公式集4：積分(定義，基本性質)

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★積分

・積分の定義

測度空間{\displaystyle (X,\mathscr{A}, \mu)}が与えられている時の，{\displaystyle E \in \mathscr{A}}上における積分を考える。

(1) {\displaystyle \ f(x)}が非負関数の場合，単調増加な収束列{\displaystyle \ f_n(x)}を用いて

{\displaystyle \ \ \ \  \int_{E} f(x) d\mu \equiv \lim_{n\to \infty} \int_{E} f_n(x) d\mu}

(2) 一般の場合，{\displaystyle f^{\pm}(x)=\max (\pm f(x),0)}として

{\displaystyle \ \ \ \  \int_{E} f(x) d\mu \equiv \int_E f^{+}(x)d\mu-\int_E f^{-}(x)d\mu }

とそれぞれ定義する。(2)では右辺のそれぞれの積分は(1)を用いて得られる。なお，{\displaystyle \int_E f^{+}(x)d\mu,\ \int_E f^{-}(x)d\mu }のいずれか一方が有限な場合にのみ(2)は定義される。積分値が有限の時，積分可能であるという。

 

・積分の基本性質(忘れやすいもののみ)

(1) {\displaystyle \ \mu(E)=0}ならば任意の関数{\displaystyle f(x)}に対して{\displaystyle \int_E f(x) d\mu=0}

(2) {\displaystyle \ E}で関数{\displaystyle f(x)}が積分可能なら，{\displaystyle \mu(\{x\in E;\ f(x)=\pm \infty\})=0}

(3) 関数{\displaystyle f(x),g(x)}が{\displaystyle E}でほとんど至るところ一致するとき，{\displaystyle \int_E f(x) d\mu=\int_E g(x) d\mu}

(4) 関数{\displaystyle f(x)}が{\displaystyle E}で積分可能なとき，{\displaystyle \mu(\{x\in E;\ f(x) \neq 0\})}は{\displaystyle \mu}測度が有限な可測集合の高々加算個の和で表される

(5) {\displaystyle \ E}の上で関数{\displaystyle f(x)}が有界で{\displaystyle g(x)}が積分可能なとき，{\displaystyle f(x)g(x)}は{\displaystyle E}上積分可能。

 

・(第一)平均値の定理

{\displaystyle \ E}の上で関数{\displaystyle f(x)}が有界で{\displaystyle g(x)}が積分可能なとき，

{\displaystyle \ \ \ \  \inf_{x \in E}f(x) \leq c \leq \sup_{x \in E}f(x)}

なる実数{\displaystyle c}で，

{\displaystyle \ \ \ \  \int_E f |g| d\mu=c \int_E |g| d\mu}

なるものが存在する。