ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

ポワソン分布とχ2分布の関係

数学統計統計検定確率解析アクチュアリー

ポワソン分布と ${\chi}^2$ 分布の関係を解説する。

区間推定などの計算上では、ポワソン分布のような「離散分布」は実は扱いにくい。これは、そのままでは積分などの操作が行えないためである。逆に言えば、連続値の分布である ${\chi}^2$ 分布などの助けを借りれば、ポワソン分布に基づく標本の推定が実行できる可能性がある。

では、具体的にポワソン分布と ${\chi}^2$ 分布の関係を見ていこう。まず、それぞれの定義から。

・ポワソン分布

　　 $X$ ~ $Po(\lambda)$ ならば、 $P(X=k)=\frac{{\lambda}^k}{k!}e^{-\lambda}$ ( $k=0,1,2,...$ )

・ ${\chi}^2_n$ 分布

　　 $Y_n$ ~ ${\chi}^2_{n}$ ならば、 $f(y)=\frac{x^{n/2-1}e^{-x/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}$ ( $y\gt 0$ )

そして、先にポワソン分布と ${\chi}^2$ 分布の関係性は、

　　　　　　　　　 $P(X\geq k)=P(Y_{2k}\leq 2\lambda)$ ・・・(a)

で表される。すなわち、パラメータ $2k$ の ${\chi}^2$ 分布と対応する。

以下、上式(a)を示そう。左辺は、

　　{(a)の左辺}= $\sum_{x=k}^{\infty}P(X=k)=\sum_{x=k}^{\infty} \frac{{\lambda}^k}{k!}e^{-\lambda}$

と書ける。これに対し右辺を

　　{(a)の右辺}= $\int_{0}^{2\lambda}f(x)=\int_{0}^{2\lambda}\frac{x^{k-1}e^{-x/2}}{2^{k}\Gamma(k)}=b_k$

と表すことにする。

そこで、 $b_k=\sum_{x=k}^{\infty} \frac{{\lambda}^x}{x!}e^{-\lambda}$ を $k$ に対する帰納法で示す方針をとる。

　 $k=0$ の時は分布の積分が1になることから明らか。

以下、 $k$ の時に $b_k=\sum_{x=k}^{\infty} \frac{{\lambda}^k}{k!}e^{-\lambda}$ を $k$ が成立していると仮定する。

${\chi}^2$ 分布に対する部分積分を用いれば、 $b_k$ の漸化式が得られる。

　　　　　 $b_{k+1}=b_k-\frac{{\lambda}^k}{k!}e^{-\lambda}$

ここで、適宜 $\Gamma(k+1)=k!$ などの公式を用いた。この漸化式により、

　　　　　 $b_{k+1}=\sum_{x=k}^{\infty} \frac{{\lambda}^k}{k!}e^{-\lambda}-\frac{{\lambda}^k}{k!}e^{-\lambda}=\sum_{x=k+1}^{\infty} \frac{{\lambda}^x}{x!}e^{-\lambda}$

を得る。従って、 $k+1$ での成立が確かめられ、帰納的に(a)が成り立つことが示された。

また、(a)式の余事象を考えることで、 $P(X\leq k)=P(Y_{2(k+1)}\gt 2\lambda)$ も求めることができる。