モーメント母関数と確率分布の一対一対応(一意性)
2つの確率変数 の確率分布
が等しいことを証明したい。ぞれぞれの確率分布の表式が直接＆陽に求めることができるなら話は終わりだが、簡単に求めることが困難な場合も多々ある。このような時数理統計では、それぞれのモーメント母関数を計算し、それが一致することで、元の確率分布も等しいと結論づける。
今回の記事では、なぜこれが成立するのか証明することにする。すなわち、「モーメント母関数と確率分布の一対一対応」を示す。
以下、確率変数 が
に従うとする。この時、モーメント母関数
は、
と書ける。特性関数は、虚数に変換して と表せる。以下、
を用いて、
\begin{eqnarray*} \int^{R}_{-R}\frac{e^{-i\theta a}-e^{-i\theta b}}{i\theta}\phi(\theta) d\theta &=&\int^{R}_{-R}\frac{e^{-i\theta a}-e^{-i\theta b}}{i\theta} \left(\int^{\infty}_{-\infty}dx e^{i\theta x}f_X(x)\right) d\theta\\&=&\int^{\infty}_{-\infty} (\int^{R}_{-R}d\theta \frac{e^{i\theta (x-a)}-e^{i\theta (x-b)}}{i\theta}) f_X(x) dx\\&=&\int^{\infty}_{-\infty} 2\left(\int^{R}_{0} d\theta \frac{sin(\theta (x-a))-sin(i\theta (x-b))}{\theta}\right) f_X(x) dx \\&=&\int^{\infty}_{-\infty} 2 h(x;a,b,R) f_X(x)dx\end{eqnarray*}
と変形できる。ここで、二番目の等式では、変数の積分の順番を交換している。これは、フビニの定理(=確率変数の積分順番交換に関する定理)により成立する。
ここで、 において簡単な留数積分を実行すると、
、それ以外は0となる。
よって、先ほどの結果から、 が予想される(
で確率分布が特異的でないという仮定の下で )。
しかしそうは問屋がおろさない。これが成り立つには、積分と極限の操作が可換であることを示す必要がある。
が、幸運なことにルベーグの収束定理ないし有界収束定理によってこれも正当化される。
以上より、
を得る。ここで、(本当は厳密ではないが) とすれば、
となる。つまり、ルベーグ積分の知識を用いることで、特性関数の逆フーリエ変換が確率分布に一致することを示すことができた。
したがって、モーメント母関数(特性関数)から確率分布を一意に計算することができることが分かった。つまり、これらは一対一対応する。
以上で用いたフビニの定理、ルベーグの収束定理についての詳細は、下記の教科書を参照されたい。
