ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

ルベーグ積分の公式集8：有界変分関数の微分可能性

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★有界変分関数の微分可能性

・単調関数の連続性と有界性

単調関数{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb{R}}は有界であり，不連続点はの集合の測度は0である(高々加算個で積分に寄与しない)。

また{\displaystyle f}は有界変分である。すなわち，以下のように全変分が有限となる。{\displaystyle \Delta}は任意の分割を表す。

{\displaystyle \ \ \ \ V_b^a [f]=\sup_{\Delta} \sum_{i=1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i-1})|\lt \infty}

 

・有界変分関数は単調非減少関数の差

有界変分関数{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb{R}}は，2つの単調非減少関数の差として表される。一例が{\displaystyle f(x)=V_a^x[f]-(V_a^x[f]-f(x))}である。

 

・ヴィタリの被覆定理

{\displaystyle E\subset \mathbb{R}}かつ，が{\displaystyle \mathfrak{I}}は区間の集合とする。任意の{\displaystyle \forall x\in E,\  \forall \epsilon \gt 0}に対して

(1) {\displaystyle \ \ \ x\in I}かつ{\displaystyle \lambda(I)\lt \epsilon}

を満たす区間{\displaystyle I\in \mathfrak{I}}が存在するとき，{\displaystyle \mathfrak{I}}は{\displaystyle E}をヴィタリの意味で被覆するという。ここで{\displaystyle \lambda}はルベーグ測度を表す。

また，{\displaystyle \lambda}から構成される外測度{\displaystyle \lambda^*}に対して{\displaystyle \lambda^*}-測度有限な集合{\displaystyle E\subset \mathbb{R}}を，区間の集合{\displaystyle \mathfrak{I}}が被覆するとする。このとき，

(2) {\displaystyle \ \ \ \mu^* \left (E \setminus \cup_{n=1}^N I_i \right) \lt \epsilon}

なる有限{\displaystyle N}個の区間列{\displaystyle I_n \in \mathfrak{I}}が存在する。

 

・有界変分関数の微分可能性

ヴィタリの被覆定理の定理を用いると，単調関数{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb{R}}は{\displaystyle (a,b)}のほとんどすべての点で微分可能となる。

また，有界変分関数が2つの単調非減少関数の差で書けることを踏まえると，有界変分関数もほとんどすべての点で微分可能となる。

ルベーグ積分の公式集7：ラドン-ニコディムの定理

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★ラドン-ニコディムの定理

・変動の定義

可測空間{\displaystyle (X,\mathscr{A})}が与えられ，任意の{\displaystyle E \in \mathscr{A}}に対して有限の実数値をとる集合関数{\displaystyle \Phi(E)}が完全加法性を満たすとき，{\displaystyle X}上の加法的集合関数と呼ぶ。ただし，測度とは違い負値も取りうる。なお測度と同じように，公式集1の連続性の各性質を満たす。このとき，

{\displaystyle \ \ \ \  \overline{V}(\Phi, E)=\sup_{A\subset E}\Phi(A)}

{\displaystyle \ \ \ \  \underline{V}(\Phi, E)=\inf_{A\subset E}\Phi(A)}

{\displaystyle \ \ \ \  V(\Phi, E)=|\overline{V}(\Phi, E)|+|\underline{V}(\Phi, E)|}

をそれぞれ上変動，下変動，全変動と定義する。なお，{\displaystyle  -\infty \lt \underline{V}(\Phi, E) \leq 0\leq \overline{V}(\Phi, E)\lt \infty }が成り立つ。

 

・ジョルダン分解とハーン分解

上記の任意の{\displaystyle E}に対して以下のジョルダン分解が可能である。

(1) {\displaystyle \Phi(E)=\overline{V}(\Phi, E)+\underline{V}(\Phi, E)}

また，以下のハーンの分解定理が成り立つ。

(2) {\displaystyle \overline{V}(\Phi, X-A)=0,\underline{V}(\Phi, A)=0}となる{\displaystyle A\subset X}が存在する。

 

・絶対連続の定義

測度空間{\displaystyle (X,\mathscr{A},\mu)}に対する加法的集合関数{\displaystyle \Phi(E)}を考える。これが測度{\displaystyle \mu}に対して絶対連続であるとは，{\displaystyle \mu(E)=0}なるすべての{\displaystyle E}に対して{\displaystyle \Phi(E)=0}となることである。

絶対連続な関数の例として，積分可能な{\displaystyle f(x)}の不定積分

{\displaystyle \ \ \ \ F(E)=\int_E f(x) d\mu(x)}がある

また特異であるとは，{\displaystyle \mu(E_0)=0}なるある集合{\displaystyle E_0}が存在し，{\displaystyle \forall E \subset X-E_0}に対して{\displaystyle \Phi(E)=0}となることをいう。

 

・ラドン-ニコディムの定理

{\displaystyle \sigma}-有限な測度{\displaystyle \mu}を仮定する。すなわち，

{\displaystyle \ \ \ \ X=\cup_{n=1}^{\infty} E_n}なる集合列{\displaystyle E_n}が存在するとする。

このとき，絶対連続な{\displaystyle F(E)}と特異な{\displaystyle \psi(E)}を用いて以下のルベーグ分解が可能である(一意的)。

(1) {\displaystyle \ \ \ \ \Phi(E)=F(E)+\psi(E)}

ここで，{\displaystyle F(E)}に対して{\displaystyle \mu}-a.e. {\displaystyle x}で定義される積分可能な関数{\displaystyle f}が存在して

(2) {\displaystyle \ \ \ \ F(E)=\int_E f(x) d\mu(x)}

と表される。{\displaystyle f}を{\displaystyle F}の{\displaystyle \mu}に対する密度関数と呼ぶ。

ルベーグ積分の公式集6：積分(フビニの定理)

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★フビニの定理

・直積測度空間

2つの測度空間{\displaystyle (X,\mathscr{E}_X, \mu),\ (Y,\mathscr{E}_Y, \nu)}に対し，任意の{\displaystyle A\in \mathscr{E}_X,\ B\in \mathscr{E}_Y}の直積{\displaystyle A\times B}を長方形と呼ぶ。互いに素な長方形の合併

{\displaystyle \ \ \ \  F_n=\cup_{i=1}^{n} A_i \times B_i}

で表される集合全体の族を{\displaystyle \mathscr{F}}とする。{\displaystyle F_n}に対する集合関数を

{\displaystyle \ \ \ \  \gamma(F_n)=\sum_{i=1}^{n} \mu(A_i) \cdot \nu(B_i)}

で定義すると，{\displaystyle \gamma}は{\displaystyle \mathscr{F}}上の測度となる。公式集2の測度の拡大の手続きにより，{\displaystyle \gamma}は{\displaystyle \mathscr{F}}の生成する{\displaystyle \sigma}-加法族の測度に拡大できる。こうして得られる測度空間{\displaystyle (X\times Y,\mathscr{E}_X \otimes \mathscr{E}_Y, \mu \otimes \nu)}を直積測度空間と呼ぶ。

 

・切り口

２つの可測空間{\displaystyle (X,\mathscr{E}_X),\ (Y,\mathscr{E}_Y)}，直積空間上の可測関数{\displaystyle f}があるとする。このとき，任意の{\displaystyle x\in X}に対し関数{\displaystyle f(x,y)}は{\displaystyle y}の関数として可測関数となる。

また，{\displaystyle (X,\mathscr{E}_X),\ (Y,\mathscr{E}_Y)}が{\displaystyle \sigma}-有限な測度空間で，直積空間上の非負可測関数を{\displaystyle f}とするとき，関数{\displaystyle \int _X f(x,y) d\mu}は可測関数となる。

 

・フビニの定理

{\displaystyle (X,\mathscr{E}_X),\ (Y,\mathscr{E}_Y)}が{\displaystyle \sigma}-有限な測度空間で，直積空間上の積分可能な関数を{\displaystyle f}とすると，関数{\displaystyle \int _X f(x,y) d\mu}も積分可能であり，かつ以下の等式が成り立つ。

\begin{eqnarray*} \int _{X\times Y} f(x,y) d(\mu\otimes \nu)&=&\int_X \left( \int_Y f(x,y)d\nu \right ) d\mu \\&=&\int_Y \left( \int_X f(x,y)d\mu \right ) d\nu \end{eqnarray*}

ルベーグ積分の公式集5：積分(項別積分)

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★項別積分

・ファトゥの補題

可測集合{\displaystyle E}上の非負可測関数列{\displaystyle  \{f_n\}}に対して以下が成り立つ。

{\displaystyle \ \ \ \  \int _E \varliminf_{n \to \infty} f_n d\mu \leq \varliminf_{n \to \infty}  \int_E f_n d \mu}

 

・ルベーグの収束定理

関数{\displaystyle f_n(x)}が{\displaystyle E}上可測関数で，{\displaystyle E}上積分可能な{\displaystyle \phi (x)}を用いて各点で{\displaystyle |f_n(x)|\leq \phi (x)}と抑えられるならば，以下が成り立つ。

(1) {\displaystyle \ \ \ \int _E \varliminf_{n \to \infty} f_n d\mu \leq \varliminf_{n \to \infty}  \int_E f_n d\mu}

(2) {\displaystyle \ \ \ \int _E \varlimsup_{n \to \infty} f_n d\mu \geq \varlimsup_{n \to \infty}  \int_E f_n d\mu}

さらに{\displaystyle f=\lim_{n\to \infty}f_n}が存在すれば

(3) {\displaystyle \ \ \ \int _E \lim_{n \to \infty} f_n d\mu = \lim_{n \to \infty}  \int_E f_n d\mu}

 

・有界収束定理

有限測度の集合{\displaystyle E}上の可測関数列{\displaystyle  \{f_n\}}がある定数{\displaystyle C}により{\displaystyle |f_n(x)|\leq C}で抑えられ(一様収束)，かつ{\displaystyle f=\lim_{n\to \infty}f_n}が存在すれば，

{\displaystyle \ \ \ \ \int _E \lim_{n \to \infty} f_n d\mu = \lim_{n \to \infty}  \int_E f_n d\mu}

 

・微分と積分の順序交換

測度関数{\displaystyle (X, \mathscr{A},\mu)}があり，{\displaystyle X}上で積分可能な{\displaystyle f(x,t)}が，{\displaystyle t}の関数として微分可能とする。この導関数が{\displaystyle X}上積分可能な{\displaystyle \phi(x)}により，{\displaystyle t}の定義域で{\displaystyle |f_t(x,t)|\leq \phi(x)}で抑えられるとする。このとき，{\displaystyle f(x,t)}の{\displaystyle x}に関する積分は{\displaystyle t}の関数として微分可能であり，

{\displaystyle \ \ \ \ \frac{d}{dt}\int _X f(x,t) d\mu(x) =  \int_X f_t(x,t)d\mu(x)}

が成り立つ。

ルベーグ積分の公式集4：積分(定義，基本性質)

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★積分

・積分の定義

測度空間{\displaystyle (X,\mathscr{A}, \mu)}が与えられている時の，{\displaystyle E \in \mathscr{A}}上における積分を考える。

(1) {\displaystyle \ f(x)}が非負関数の場合，単調増加な収束列{\displaystyle \ f_n(x)}を用いて

{\displaystyle \ \ \ \  \int_{E} f(x) d\mu \equiv \lim_{n\to \infty} \int_{E} f_n(x) d\mu}

(2) 一般の場合，{\displaystyle f^{\pm}(x)=\max (\pm f(x),0)}として

{\displaystyle \ \ \ \  \int_{E} f(x) d\mu \equiv \int_E f^{+}(x)d\mu-\int_E f^{-}(x)d\mu }

とそれぞれ定義する。(2)では右辺のそれぞれの積分は(1)を用いて得られる。なお，{\displaystyle \int_E f^{+}(x)d\mu,\ \int_E f^{-}(x)d\mu }のいずれか一方が有限な場合にのみ(2)は定義される。積分値が有限の時，積分可能であるという。

 

・積分の基本性質(忘れやすいもののみ)

(1) {\displaystyle \ \mu(E)=0}ならば任意の関数{\displaystyle f(x)}に対して{\displaystyle \int_E f(x) d\mu=0}

(2) {\displaystyle \ E}で関数{\displaystyle f(x)}が積分可能なら，{\displaystyle \mu(\{x\in E;\ f(x)=\pm \infty\})=0}

(3) 関数{\displaystyle f(x),g(x)}が{\displaystyle E}でほとんど至るところ一致するとき，{\displaystyle \int_E f(x) d\mu=\int_E g(x) d\mu}

(4) 関数{\displaystyle f(x)}が{\displaystyle E}で積分可能なとき，{\displaystyle \mu(\{x\in E;\ f(x) \neq 0\})}は{\displaystyle \mu}測度が有限な可測集合の高々加算個の和で表される

(5) {\displaystyle \ E}の上で関数{\displaystyle f(x)}が有界で{\displaystyle g(x)}が積分可能なとき，{\displaystyle f(x)g(x)}は{\displaystyle E}上積分可能。

 

・(第一)平均値の定理

{\displaystyle \ E}の上で関数{\displaystyle f(x)}が有界で{\displaystyle g(x)}が積分可能なとき，

{\displaystyle \ \ \ \  \inf_{x \in E}f(x) \leq c \leq \sup_{x \in E}f(x)}

なる実数{\displaystyle c}で，

{\displaystyle \ \ \ \  \int_E f |g| d\mu=c \int_E |g| d\mu}

なるものが存在する。

ルベーグ積分の公式集3：可測関数

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★可測関数

・可測関数の定義

{\displaystyle \sigma}-加法族{\displaystyle \mathscr{A}}および{\displaystyle E \in X}に対し，

(1) {\displaystyle \ \ \ \{x\in E;\ f(x) \gt a \}\in \mathscr{A}}

が任意の実数{\displaystyle a}について成り立つとき，{\displaystyle f(x)}を{\displaystyle \mathscr{A}}-可測関数と呼ぶ。なお有理数の稠密性と可測集合の完全加法性から，「(1)式が任意の有理数で成り立つ」としても良い。

 

・単関数による近似可能性

{\displaystyle f(x)}が{\displaystyle E}で可測でかつ非負なら，{\displaystyle E}で可測でかつ非負なる単関数の増加列で，{\displaystyle f(x)}に{\displaystyle E}の各点で収束するものが存在する。

 

・エゴロフの定理

{\displaystyle \sigma}-加法族{\displaystyle \mathscr{A}}および{\displaystyle E \in \mathscr{A}}に対して{\displaystyle \mu(E)\lt \infty}とし，{\displaystyle E}上でほとんど至るところ有限な可測関数列{\displaystyle f_n}があったとする。{\displaystyle E}上ほとんどすべての点で有限な収束値

{\displaystyle \ \ \ f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)}

を持つとき，{\displaystyle \forall \epsilon}に対して以下が成り立つような{\displaystyle F \in \mathscr{A}}が存在する。

(1) {\displaystyle \ \ \ F\subset E, \mu(E-F)\lt \epsilon}

(2) {\displaystyle \ \ \ \{f_n(x)\}}は{\displaystyle  f(x)}に{\displaystyle  F}上一様収束する。

ルベーグ積分の公式集2：ボレル測度とルベーグ測度

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★ボレル測度とルベーグ測度

・最小の{\displaystyle \sigma}-加法族

集合{\displaystyle X}とその部分集合の族{\displaystyle \mathscr{A}}に対して，{\displaystyle \mathscr{A}}を含むすべての{\displaystyle \sigma}-加法族の共通部分をとったものを，{\displaystyle \mathscr{A}}の生成する(最小の){\displaystyle \sigma}-加法族{\displaystyle \mathscr{E(A)}}と呼ぶ。

 

・ボレル測度の定義

位相空間{\displaystyle (X,\mathscr{I})}が与えられたとすると，位相{\displaystyle \mathscr{I}}は集合族であるから，これを含む最小の{\displaystyle \sigma}-加法族を考えることができる。これをボレル{\displaystyle \sigma}-加法族と呼び，{\displaystyle \mathscr{B}(X)}で表す。また，{\displaystyle \mathscr{B}(X)}上で定義される測度{\displaystyle m}をボレル測度と呼ぶ。

とくに，{\displaystyle X}を実数空間{\displaystyle \mathbb{R}}とする場合のものをボレル加法族，ボレル測度とすることもある。

 

・外測度

集合{\displaystyle X}の全部分集合上{\displaystyle A}で定義された集合関数{\displaystyle \mu^{*}(A)}が以下の(1)-(3)を満たすとき，外測度と呼ぶ。

(1) {\displaystyle \ \ \ 0 \leq \mu^{*} \leq \infty,\ \mu^{*}(\phi)=0}

(2) {\displaystyle \ \ \ A \subset B}ならば{\displaystyle \mu^{*}(A) \leq \mu^{*}(B)}

(3) {\displaystyle \ \ \  \mu^{*}(\cup_{n=1}^{\infty}A_n) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu^{*}(A_n)}

また{\displaystyle E \subset X}が{\displaystyle \mu^{*}}-可測であるとは，すべての{\displaystyle A}に対し

{\displaystyle \ \ \ \ \mu^{*}(A) = \mu^{*}(A\cap E)+\mu^{*}(A\cap E^{c})}

が成り立つことをいう。{\displaystyle \mu^{*}}-可測な集合すべてからなる族は{\displaystyle \sigma}-加法族であり，外測度をこの族に制限して得られる集合関数{\displaystyle \mu}は測度となる(カラテオドリの拡張定理)。

 

・測度を{\displaystyle \sigma}-加法族上の測度へ拡大する

加法族{\displaystyle \mathscr{F}}およびその上の測度{\displaystyle \mu_0}があるとする。{\displaystyle \mathscr{F}}の集合列{\displaystyle \{F_n\}}を用いて，集合関数{\displaystyle \mu^{*}}を定義する。

{\displaystyle \ \ \ \ \mu^{*}(A)=\inf \sum_{n=1}^{\infty}\mu_0(F_n)}

ここで下限は{\displaystyle A\subset \cup_{n=1}^{\infty} \{F_n\}}となるすべての集合列についてとる。このとき，{\displaystyle \mu^{*}}は{\displaystyle X}上の外測度で，下記が成り立つ。

{\displaystyle \ \ \ \ \mu^{*}(F)=\mu_0(F),\ \forall F\in \mathscr{F}}

これにカラテオドリの拡張定理を適用すれば，{\displaystyle \mathscr{F}}の生成する{\displaystyle \sigma}-加法族{\displaystyle \mathscr{E(F)}}上の測度{\displaystyle \mu}が得られる。

 

・完備化とルベーグ測度

測度空間{\displaystyle (X, \mathscr{A}, \mu)}に対し，{\displaystyle  \mathscr{A}}が測度0の集合{\displaystyle E\in \mathscr{A}}のもつすべての部分集合を含んでいるとき，この測度空間を完備であるという。

ボレル測度空間{\displaystyle (\mathbb{R}, \mathscr{B(\mathbb{R})}, m)}を完備化して得られる測度空間をウィナー空間とよび，このときの測度をルベーグ測度と呼ぶ。