ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

ルベーグ積分の公式集7：ラドン-ニコディムの定理

数学 統計 確率解析 ルベーグ積分

ルベーグ積分には様々な定理や公式が出てきて理解が追い付かなくなることがよくある。本ブログでは，理解の一助として，基本的な公式をまとめた。内容は随時追加していく予定。

 

★ラドン-ニコディムの定理

・変動の定義

可測空間{\displaystyle (X,\mathscr{A})}が与えられ，任意の{\displaystyle E \in \mathscr{A}}に対して有限の実数値をとる集合関数{\displaystyle \Phi(E)}が完全加法性を満たすとき，{\displaystyle X}上の加法的集合関数と呼ぶ。ただし，測度とは違い負値も取りうる。なお測度と同じように，公式集1の連続性の各性質を満たす。このとき，

{\displaystyle \ \ \ \  \overline{V}(\Phi, E)=\sup_{A\subset E}\Phi(A)}

{\displaystyle \ \ \ \  \underline{V}(\Phi, E)=\inf_{A\subset E}\Phi(A)}

{\displaystyle \ \ \ \  V(\Phi, E)=|\overline{V}(\Phi, E)|+|\underline{V}(\Phi, E)|}

をそれぞれ上変動，下変動，全変動と定義する。なお，{\displaystyle  -\infty \lt \underline{V}(\Phi, E) \leq 0\leq \overline{V}(\Phi, E)\lt \infty }が成り立つ。

 

・ジョルダン分解とハーン分解

上記の任意の{\displaystyle E}に対して以下のジョルダン分解が可能である。

(1) {\displaystyle \Phi(E)=\overline{V}(\Phi, E)+\underline{V}(\Phi, E)}

また，以下のハーンの分解定理が成り立つ。

(2) {\displaystyle \overline{V}(\Phi, X-A)=0,\underline{V}(\Phi, A)=0}となる{\displaystyle A\subset X}が存在する。

 

・絶対連続の定義

測度空間{\displaystyle (X,\mathscr{A},\mu)}に対する加法的集合関数{\displaystyle \Phi(E)}を考える。これが測度{\displaystyle \mu}に対して絶対連続であるとは，{\displaystyle \mu(E)=0}なるすべての{\displaystyle E}に対して{\displaystyle \Phi(E)=0}となることである。

絶対連続な関数の例として，積分可能な{\displaystyle f(x)}の不定積分

{\displaystyle \ \ \ \ F(E)=\int_E f(x) d\mu(x)}がある

また特異であるとは，{\displaystyle \mu(E_0)=0}なるある集合{\displaystyle E_0}が存在し，{\displaystyle \forall E \subset X-E_0}に対して{\displaystyle \Phi(E)=0}となることをいう。

 

・ラドン-ニコディムの定理

{\displaystyle \sigma}-有限な測度{\displaystyle \mu}を仮定する。すなわち，

{\displaystyle \ \ \ \ X=\cup_{n=1}^{\infty} E_n}なる集合列{\displaystyle E_n}が存在するとする。

このとき，絶対連続な{\displaystyle F(E)}と特異な{\displaystyle \psi(E)}を用いて以下のルベーグ分解が可能である(一意的)。

(1) {\displaystyle \ \ \ \ \Phi(E)=F(E)+\psi(E)}

ここで，{\displaystyle F(E)}に対して{\displaystyle \mu}-a.e. {\displaystyle x}で定義される積分可能な関数{\displaystyle f}が存在して

(2) {\displaystyle \ \ \ \ F(E)=\int_E f(x) d\mu(x)}

と表される。{\displaystyle f}を{\displaystyle F}の{\displaystyle \mu}に対する密度関数と呼ぶ。