ChunPom’s diary

数学、物理、機械学習に関する話題。あと院試、資格、大学入試まで。

統計検定自作問題2(数理統計向け)

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「平均 { \displaystyle \lambda}のポワソン分布に従う確率変数 { \displaystyle X}と、自由度 { \displaystyle n}の { \displaystyle \chi_{n}^2}分布に従う確率変数 { \displaystyle Y_n}を考える。すなわち、それぞれの確率分布を { \displaystyle P(X=x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\ (x=0,1,2,...)}、 { \displaystyle f(y_n)=\frac{x^{n/2-1}e^{-x/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}\  (y_n \geq 0)}とする。以下の問いに答えよ。

(1) { \displaystyle k}を0以上の整数として、 { \displaystyle P(X\geq k)=P(Y_{2k}\leq 2\lambda)}が成り立つことを証明せよ。

(2) { \displaystyle k}を0以上の整数として、 { \displaystyle P(X\leq k)=P(Y_{2(k+1)}\gt 2\lambda)}が成り立つことを証明せよ。

(3) 確率変数 { \displaystyle X}に対する { \displaystyle N}個の独立な標本 { \displaystyle X_1,X_2,...,X_N}がある。このとき、パラメータ { \displaystyle \lambda}の有意水準 { \displaystyle \alpha}の信頼区間を求めよ。」